Fermatův a Pascalův rozhodovací model

Očekávaná hodnota kalkulace

Nejprve si ověřme čistou matematiku očekávané hodnoty (EV) pro tři scénáře kampaně za 180 tis. Kč:

• Skvělý ohlas: 0,40 × 600 000 = 240 000 Kč
• Průměr: 0,45 × 250 000 = 112 500 Kč
• Propadek: 0,15 × 50 000 = 7 500 Kč

Součet hrubé EV = 360 000 Kč. Po odečtení nákladu 180 000 Kč vám vychází čistá EV +180 000 Kč, tedy zhruba 1,0× návratnost. To je na hraně – není to jasná sázka.

Bayesovská revize před rozhodnutím

Násobek 1× je podezřelý, obzvlášť pokud jde o jednorázový pokus. Zkuste si ještě položit tyto otázky:

1. Jaká je vaše apriorní zkušenost s podobnými letákovými kampaněmi v předchozích letech? Pokud z 10 kampaní 6 skončilo podobně, vaše 40/45/15 jsou realistyczne odhady; pokud jen 3, jdete do rizika.
2. Zdroj nové informace: Máte k dispozici data o konkurenci, ceně bot nebo počasí? Každá taková informace by měla posunout pravděpodobnosti – nikoliv výnosy.
3. Rozptyl (variance): U jedné kampaně se 180 000 Kč EV rovná nule při započtení nákladu – riskujete reálně možnost ztráty celé částky.

Verdikt

EV je kladná, ale obrovská variance. Doporučuji nespouštět to naplno, ale rozdělit kampaň na dva menší testy po 90 tis. sátcovacími v různých regionech. První test vám poskytne data pro bayesovskou aktualizaci, druhý už bude rozhodnutí s podstatně menším rizikem. Rozhodování na základě jednoho odhadu bez zpětné vazby je hazard, ne kalkul.

Příklad rozdělení sázek podle Pascala a Fermata

Skvělý příklad pro vaše studenty! Hrají hru „na čtyři vítězné" a vedoucí hráč vede 2:1. Je třeba rozdělit vklad spravedlivě podle toho, jaké šance by měl každý z nich, kdyby hra pokračovala.

Výčet všech možných dokončení

Zbytek zápasu může skončit jen výhrou jednoho ze dvou hráčů (na 4 zápasy). Po stavu 2:1 existují právě tyto scénáře:

1. A vyhraje další 3 zápasy (3:1): pravděpodobnost 1/8, A vyhrává celý vklad
2. A vyhraje 2, B vyhraje 1, ale nakonec A dojde do 4: (3:1) – 3/8
3. A vyhraje 1, B vyhraje 2, ale nakonec B dojde do 4: (3:2) – 3/8
4. B vyhraje 3 zápasy: (2:4) – 1/8, B vyhrává celý vklad

Spravedlivý podíl

• Pravděpodobnost výhry A = 1/8 + 3/8 = 4/8 = 50 %
• Pravděpodobnost výhry B = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 50 %

V tomto konkrétním stavu je dělení vkladu zcela férové 1:1, i když A vede. Studenti to často nechápou – vedoucí hráč nemá automaticky nárok na víc, protože ke konci chybí hodně zápasů.

Pedagogický tip

Ukažte studentům tento výčet a nechte je nakreslit binomický strom. Pak jim dejte stav 3:1 a porovnejte – tam už A dostává 7/8 vkladu. Rozdíl je dramatický a ilustruje sílu pravděpodobnostního myšlení lépe než jakákoli definice.

Rozdělení vkladu podle stavu 3:2

Tomáš vede 3:2 a zbývá dohrát zápasy do 4 výher. Pokud byste chtěli sezonu ukončit teď, musíte vypočítat, s jakou pravděpodobností by nakonec vyhrál každý z vás, kdyby se pokračovalo. Stav 3:2 znamená, že jednomu z vás stačí jedna výhra, druhému dvě.

Výčet možných dokončení

Předpokládejme, že každý zápas je 50/50. Zbytek série má tyto scénáře:

1. Vyhrajete ihned další zápas (stav 4:2): pravděpodobnost 1/2 = 50 %
2. Prohrajete další, vyhrajete ten následující (4:3): pravděpodobnost 1/4 = 25 %
3. Prohrajete další dva zápasy (3:4 pro Tomáše): pravděpodobnost 1/4 = 25 %

Výpočet podílů

• Vaše šance na výhru: 50 % + 25 % = 75 %
• Tomášova šance na výhru: 25 %

Férové rozdělení vkladu 1 000 Kč

• Vy: 0,75 × 1 000 = 750 Kč
• Tomáš: 0,25 × 1 000 = 250 Kč

Jak to model ukáže

Model vám doslova „rozebere" všechna možná pokračování a přiřadí jim pravděpodobnosti. To je přesně ten princip, který Pascal a Fermat objevili při „problému bodů" – každý výsledek vynásobený svou šancí, sečtený, a podle toho rozdělený vklad. Tady je důležité, abyste přesvědčili Tomáše čísly, ne emocemi – řekněte mu: „Tady máš výpočet, tady máš podíl, je to fér pro oba." Pokud odmítne, riskuje, že v dalším kole prohraje a nedostane nic.